代数格中链的长度

我们研究代数格 $L$ 中给定类型链的存在性如何反映在其紧元素的并半格 $K(L)$ 中。我们证明，对于每个大小为 $\kappa$ 的链 $\alpha$，存在一个至多包含 $2^{\kappa}$ 个并半格的集合 $\B$，其中每个并半格都有一个最小元，使得代数格 $L$ 不包含序型为 $I(\alpha)$ 的链，当且仅当其紧元素的并半格 $K(L)$ 不包含同构于 $\B$ 中任一成员的并子半格。我们证明，在属于 $\B$ 的 $[\omega]^{<\omega}$ 的并子半格中，有一个可以嵌入到所有其他并子半格中。我们猜想，如果 $\alpha$ 是可数的，则存在一个有限集合 $\B$。