有限代数的同余格

泛代数中一个重要且长期悬而未决的问题是：是否每个有限格都同构于某个有限代数的同余格。在该问题解决之前，我们对有限代数的理解是不完整的，因为给定一个任意有限代数，我们无法判断其同余格的形状是否存在任何限制。根据 Palfy 和 Pudlak 的一个著名结果，如果我们能证明存在一个有限格，它不是某个有限群的子群格中的一个区间，该问题即可获解。因此，刻画有限代数同余格的问题与刻画子群格中区间的问题密切相关。在本文中，我们回顾了寻找具有给定同余格的有限代数的多种方法，包括在子群格中搜索区间。我们还考虑了在不实际构造代数的情况下，证明具有给定同余格的代数存在的方法。通过将这些众所周知的方法与我们开发的一种新方法相结合，并在 UACalc 和 GAP 等计算机软件的大力帮助下，我们证明了除一个可能的例外，所有至多包含七个元素的格都同构于某个有限代数的同余格。因此，我们确定了没有已知表示的唯一最小格。我们详细研究了这个例外格，并证明了刻画可能表示该格的代数类的结果。最后，我们提出了围绕该问题我们认为最有趣的一些开放性问题，并讨论了未来工作的可能性。