结合代数（结合代数的长度与深度）

近来，研究有限群、代数群和李群的长度与深度引起了相当大的兴趣。在本文中，我们引入并研究代数的类似概念。设 $k$ 为一个域，设 $A$ 为域 $k$ 上的一个结合、未必含单位的代数。$A$ 的一个不可加细链是一个子代数链 $A=A_0>A_1>...>A_t=0$（对某个整数 $t$），其中每个 $A_i$ 是 $A_{i-1}$ 的极大子代数。此种不可加细链的最大（ respectively，最小）长度称为 $A$ 的长度（ respectively，深度）。结果表明，有限长度、有限深度和有限维是 $A$ 的等价性质。对于有限维的 $A$，我们给出 $A$ 的长度的公式，界定 $A$ 的深度，并研究 $A$ 的长度分别等于其维数和其深度的情况。最后，我们研究在何种情况下 $A$ 的维数被其长度、或其深度、或其长度减去其深度的函数从上界所限制。