Alexander 引理与 Sperner 引理

Alexander 引理是 Sperner 引理的一个版本，由 Alexander 比 Sperner 的论文早两年发表。本文致力于对 Alexander 与 Sperner 引理及其主要拓扑应用做现代但初等的阐述：Brouwer 关于维数与域的拓扑不变性定理（此处我们遵循 Lebesgue 的思想，采用 Sperner 所给出的形式）、Brouwer 不动点定理，以及 Alexander 关于同调群拓扑不变性的定理。在此过程中，我们将 Knaster-Kuratowski-Mazurkiewich 论证与单纯逼近的概念相联系，给出 Sperner 引理及其组合证明的上同调解释，并说明 Sperner 与 Alexander 引理的经典证明如何导出路径跟踪算法。本阐述不假定读者具备任何代数拓扑知识。