自由乘法卷积的大数定律

在经典概率论中，乘法卷积的大数定律可直接由加法卷积的大数定律导出。然而在自由概率论中情况并非如此。自由加法大数定律由 D. Voiculescu 于 1986 年针对有界支撑的概率测度证明，并由 J. M. Lindsay 和 V. Pata 于 1997 年推广至所有一阶矩存在的概率测度；而自由乘法大数定律直到 2010 年才由 G. Tucci 证明。在本文中，我们将 Tucci 的结果推广至无界支撑的测度，同时为有界支撑情形给出了一个更初等的证明。与经典乘法卷积情形相反，自由乘法大数定律的极限测度并非 Dirac 测度，除非原始测度本身就是 Dirac 测度。我们还表明，$\ln x$ 的均值关于自由乘法卷积具有可加性，而 $\ln x$ 的方差通常不具有可加性。此外，我们研究了定义在 $(0,\infty)$ 上的双参数测度族 $(\mu_{\alpha,\beta})_{\alpha,\beta \ge 0}$，其 S-变换由 $S_{\mu_{\alpha,\beta}}(z) = (-z)^\beta (1+z)^{-\alpha}$ 给出，其中 $0 < z < 1$。