最大 5 阶枢轴可能是 61 次多项式的根
数值分析
2026-03-17 v2 数值分析
摘要
本文引入了若干新技术来研究著名的数值线性代数问题：进行完全枢轴高斯消去时，最大可能增益因子是多少。该问题极其复杂，因需同时满足一组复杂的多项式不等式。本文提出了 JuMP + Gröbner 基 + 判别式多项式方法，以及区间算术计算的使用。我们引入了数值与精确数学计算的结合。在1988年，Day 和 Peterson 使用 NPSOL 对 n=5 进行数值优化，得到的最大值为 4.1325...。1991年，Gould 使用 LANCELOT 复现了相同的最佳值。我们使用现代软件工具 JuMP 进行大量可比实验，同样看到该值 4.1325...。尽管组合爆炸的可能性阻碍我们判断是否存在更大的最大值，但我们成功获得了精确数学值：数 4.1325... 正是一位 61 次多项式的根，具体多项式已列于本文中，该值是给定 JuMP 所见等式约束下的一个最大值。鉴于数值结果，我们提出该下界确实是最大值。我们还将此技术应用于 n=6、7、8。此外，1969年，针对 n=5 的最大可能增益，已给出上界 4 17/18≈4.94。我们将其略微下调至 4.84。
引用
@article{arxiv.2602.20390,
title = {The largest 5th pivot may be the root of a 61st degree polynomial},
author = {James Chen and Alan Edelman and John Urschel},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.20390},
year = {2026}
}