经典正交多项式的拉格尔星座

若存在次数不大于 $2$ 的多项式 $\phi$ 与次数为 $1$ 的多项式 $\psi$，使得 ${\mathscr D}\left(\phi(x) {\bf u}\right)=\psi(x){\bf u}$，其中 ${\mathscr D}$ 为某种微分或差分算子，则线性函数 ${\bf u}$ 为经典函数(classical)。满足该线性函数正交的多项式称为经典正交多项式(classical orthogonal polynomials)。在正交多项式理论中，对经典族的正确表征具有重要意义。本文一方面提出拉格尔星座(Laguerre constellation)，即由所有满足 $\deg \phi=1$ 的经典族组成的集合，为其中所有族提供新的代数恒等式，如结构公式、正交性质以及新的罗德里格斯公式；另一方面，给出表征拉格尔星座中经典族的定理。