Kapustin-Witten方程与非阿贝尔Hodge理论

由$\mathcal{N} = 4$超杨-米尔斯理论拓扑扭曲产生的是Kapustin-Witten方程，这是四流形上一族由$t\in\mathbb{P}^1$参数化的规范理论方程。该参数对应于扭曲中两个超荷的线性组合。当$t=0$且四流形为紧Kähler曲面时，这些方程化为Simpson方程；如Nakajima与第三作者各自独立的工作所证，该方程最初由Hitchin在紧黎曼曲面上研究。与此同时，在Donaldson-Corlette-Hitchin-Simpson的非阿贝尔Hodge理论中存在$\lambda$-联络的概念，其中$\lambda$同样取值于$\mathbb{P}^1$。改变$\lambda$可在光滑射影簇上半稳定Higgs层模空间（在$\lambda=0$时，具有消失陈类）与同一簇上半单局部系统模空间（在$\lambda=1$时）之间，于扭量空间中进行插值。本文中，我们利用非阿贝尔Hodge理论所提供的对应，来描述在光滑紧Kähler曲面上Kapustin与Witten在$t=0$和$t \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$处方程解模空间之间的关系。随后，我们通过计算$t=0$与$t \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$时模空间的期望维数，为这一关系在光滑闭四流形上的更一般形式提供佐证。