无源离散时不变系统的 Kalman--Yakubovich--Popov 不等式

我们考虑针对压缩算子矩阵 $\begin{pmatrix} A&B\\ C &D \end{pmatrix}:\begin{pmatrix}\mathfrak{H}\\\mathfrak{M} \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\mathfrak{H}\\\mathfrak{N} \end{pmatrix}$ 的 Kalman-Yakubovich-Popov (KYP) 不等式 $$\begin{pmatrix} X-A^* XA-C^*C & -A^*X B- C^*D\\ -B^*X A-D^* C & I- B^*X B-D^*D \end{pmatrix} \ge 0$$，其中 $\mathfrak{H},$ $\mathfrak{M}$ 和 $\mathfrak{N}$ 是可分 Hilbert 空间。我们将解 $X$ 限制在算子区间 $[0, I_\mathfrak{H}]$ 内。我们获得了 KYP 的几种等价形式。利用压缩算子矩阵分块的参数化、Kre\u{\i}n 短算子以及 Schur 类算子值函数的 M\"obius 表示，我们找到了 KYP 不等式的几种等价形式。建立了解的性质，并证明了 KYP 不等式的最小解满足相应的代数 Riccati 方程，且可通过选取特定初始点的迭代过程获得。就 Kre\u{\i}n 短算子而言，我们建立了解的唯一性的必要条件和一些充分条件。