模栈 $\mathcal{M}_2$ 与 $\overline{\mathcal{M}}_2$ 的 $K$-理论

我们计算了亏格为二的平滑曲线与稳定曲线的模栈 $\mathcal{M}_2$、$\overline{\mathcal{M}}_2$ 的整 Grothendieck 环。我们利用 Vistoli 给出的将 $\mathcal{M}_2$ 表示为全局商栈的呈现来计算 $K_0(\mathcal{M}_2)$。为了计算 Grothendieck 环 $K_0(\overline{\mathcal{M}}_2)$，我们将 $\overline{\mathcal{M}}_2$ 分解为 $\Delta_1$ 及其补集 $\overline{\mathcal{M}}_2 \setminus \Delta_1$，并利用 Larson 给出的它们作为商栈的呈现来计算其 Grothendieck 环。我们证明它们是无挠的，这一点连同 Riemann-Roch 同构，最终给出了整 Grothendieck 环 $K_0(\overline{\mathcal{M}}_2)$ 的一个呈现。