约瑟夫森-安德森关系与经典达朗贝尔悖论

推广 P. W. Anderson 和 E. R. Huggins 的先前工作，我们证明了对于静止于以速度 ${\bf V}$ 流动的经典不可压缩流体中的有限物体，其阻力满足“详细约瑟夫森-安德森关系”。该关系断言阻力瞬时功耗 $-{\bf F}\cdot{\bf V}$ 与通过势质量流的涡量通量 $-(1/2)\int dJ\int \epsilon_{ijk}\Sigma_{ij}\,d\ell_k$ 之间的精确等式。此处 $\Sigma_{ij}$ 是在第 $i$ 坐标方向上守恒的第 $j$ 个涡量分量的通量，沿理想欧拉方程的势流解 ${\bf u}_\phi=\nabla\phi$ 的流线取关于 $\ell$ 的线积分，携带质量通量 $dJ=\rho\,{\bf u}_\phi\cdot d{\bf A}$。结果推广了 M. J. Lighthill 关于绕物体流动的理论，特别地，稳态关系 $(1/2)\epsilon_{ijk}\langle\Sigma_{jk}\rangle =\partial_i\langle h\rangle$（其中 $h=p+(1/2)|{\bf u}|^2$ 为广义焓或总压）将 Lighthill 关于固壁处涡量生成的理论推广至流动内部。我们利用这些结果从涡动力学角度解释物体阻力，统一了经典流体与量子超流体的理论。这些结果为无限雷诺数下的“达朗贝尔悖论”提供了新解，并给出了湍流减阻的必要条件。