Erd\H{o}s-R\'enyi 网络中的联合节点度分布

Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图是节点度分布最简单的模型，也是被研究最广泛的模型之一。在该模型中，从 $n$ 个顶点中均匀随机地以概率 $p$ 选取顶点对并连接，因此给定顶点的度服从二项分布。若顶点数很大，可利用中心极限定理将二项分布近似为正态分布，这通常当 $\min (np, n(1-p)) > 5$ 时被允许。这对每个节点独立成立。然而，由于图中节点的度并不独立，本文旨在检验 Erd\H{o}s-R\'enyi 图中各节点度 collectively 是否具有多元正态分布 MVN。针对“二项分布为整组节点的分布”这一假设的卡方拟合优度检验因度之间的依赖性而被拒绝。在检验 MVN 之前，我们证明图中任意一对节点度之间的协方差和相关系数分别为 $p(1-p)$ 和 $1/(n-1)$。我们考虑独立与依赖度两种假设检验 MVN，并基于卡方统计量的拒绝百分比、Anderson Darling 检验的 $p$ 值以及 CDF 比较得出结果。我们总是在 $n$ 和 $p$ 较大时获得多元正态分布的良好拟合，而在 $n$ 或 $p$ 极小时拟合很差。当 $np \geq 10$ 时该近似似乎有效。我们还比较了 MVN 分布中假设独立与依赖时 $p$ 的最大似然估计，并使用偏差、方差和均方误差评估这些估计量。