随机二分图中左完美匹配的最优度分布

考虑一个随机二分多重图 $G$，具有 $n$ 个左节点和 $m \geq n \geq 2$ 个右节点。每个左节点 $x$ 有 $d_x \geq 1$ 个随机右邻居。平均左度 $\Delta$ 固定，$\Delta \geq 2$。我们询问：对于 $G$ 存在左完美匹配的概率，是否不固定每个左节点 $x$ 的 $d_x$，而是根据某种（巧妙选择的）分布随机选择它更有利？我们证明以下结论，前提是左节点的度是独立的：如果 $\Delta$ 是整数，则对所有左节点使用固定度 $\Delta$ 是最优的。如果 $\Delta$ 非整数，则最优度分布具有如下性质：每个左节点 $x$ 有两个可能的度，$\floor{\Delta}$ 和 $\ceil{\Delta}$，概率分别为 $p_x$ 和 $1-p_x$，其中 $p_x$ 来自闭区间 $[0,1]$，且所有 $p_x$ 的平均值等于 $\ceil{\Delta}-\Delta$。此外，如果 $n=c\cdot m$ 且 $\Delta>2$ 为常数，则满足上述条件的每个左度分布都确定相同的阈值 $c^*(\Delta)$，该阈值在 $n$ 趋于无穷时具有如下性质：若 $c<c^*(\Delta)$，则以高概率存在左完美匹配；若 $c>c^*(\Delta)$，则以高概率不存在左完美匹配。阈值 $c^*(\Delta)$ 与离线 $k$ 元布谷鸟哈希（$k=\Delta$ 为整数或非整数）的已知阈值相同。