奇数性的重要性

本文主要考察了具有周期边界条件且自旋链数目为奇数的有限 XXZ 体系。该体系由哈密顿量 $H_{xxz}=-\sum_{j=1}^{N}\{\sigma_j^{x}\sigma_{j+1}^{x} +\sigma_j^{y}\sigma_{j+1}^{y} +\Delta \sigma_j^z\sigma_{j+1}^z\}$ 描述。结果发现，其基态能恰好与自旋链数目成正比 $E=-3N/2$，仅当非对称参数 $\Delta=-1/2$ 时成立。显式构造其基态 Bethe 特征向量参数为零点的三角多项式 $q(u)$。该多项式次数为 $n=(N-1)/2$，满足 Baxter T-Q 方程。利用该方程的第二个独立解（对应相同的传递矩阵本征值），可求得基态能相对于非对称参数的导数。该导数与相关函数 $<\sigma_j^z\sigma_{j+1}^z> =-1/2+3/2N^2$ 紧密相关，而该相关函数又与体系基态自旋链数目平均值 $<N_{string}> = {3/8}(N-1/N)$ 有关。我再次强调，所有这些简单公式在自旋链数目为偶数时都不成立。恰恰是这种情况通常被考虑。