理想层与结类型的最大粘度

我们通过其厚化代表的 ropelength 过滤空间来研究结的类型。对于结类型 $K$ 和尺度参数 $\Lambda>0$，记 $Y_\Lambda(K)=\mathcal{R}_{1,\Lambda}(K)$ 为厚度至少为 $1$ 且长度为至多 $\Lambda$ 的 $K$ 类型代表的空间，商以参数化和方向-preserving 欧几里得等距关系。基本等价关系由可采纳变形定义：两个代表在尺度 $\Lambda$ 下等价，当它们可以通过保持在 $Y_\Lambda(K)$ 中的代表连接。所得的可采纳组件形成一个随 $\Lambda$ 增加而变化的单参数持久性对象。我们证明了该可采纳组件持久性的第一个出生水平恰好是结的 ropelength $\operatorname{Rop}(K)$。初始层 $I(K)=Y_{\operatorname{Rop}(K)}(K)$ 是结的理想层。因此，ropelength 最小化的轨迹不仅被当作理想形状的集合来对待，而是作为受约束变形理论的出生层。我们定义理想可采纳组件集 $\Pi^{\mathrm{ad}}_{\mathrm{ideal}}(K)$，理想组件数 $\nu_{\mathrm{ideal}}(K)$，以及两两理想合并尺度。对于固定的结类型 $K$，此处引入的中心不变式是定义在 $\Pi^{\mathrm{ad}}_{\mathrm{ideal}}(K)$ 上的 ropelength 超度度 $d_{\mathrm{merge}}(C,D)=\mu_{\mathrm{ideal}}(C,D)-\operatorname{Rop}(K)$。我们证明了该函数是有限值且满足强三角不等式。纯合并 Vietoris--Rips 过滤是该超度度结构的次级单纯形编码：它记录相同的零维合并数据，且在合并分区本身之外没有更高维的同调内容。我们也计算了unknot 的基本情况，并指出有限多边形和图式近似作为进一步方向。