从 $G_2$-Laplacian 共流流出的 hypersymplectic 流

Simon Donaldson 提出的猜想是: 在紧致 $4$ 维流形 $X^4$ 上, 可以从 hypersymplectic 结构流动到 hyperk"ahler 结构, 同时保持相同的 cohomology class。为此, Fine-Yao 引入了 hypersymplectic 流。本文使用 $X^4$ 上正三元组的概念来描述 hypersymplectic 结构和 hyperk"ahler 结构。给定一个闭正三元组, 可在 $\mathbb{T}^3 \times X^4$ 上定义任一闭 $G_2$ 结构或 coclosed $G_2$ 结构。coclosed $G_2$ 结构在修改后的 $G_2$-Laplacian 共流下演化。共流降至 $X^4$ 上正三元组的流, 即再次是 Fine-Yao 的 hypersymplectic 流。