Banach 空间中的 Hilbert 变换与正交鞅

设 $X$ 为给定的 Banach 空间，令 $M$、$N$ 为两个正交的 $X$ 值局部鞅，且 $N$ 弱微分从属于 $M$。本文包含如下估计的证明：$$\mathbb E \Psi(N_t) \leq C_{\Phi,\Psi,X} \mathbb E \Phi(M_t),\;\;\; t\geq 0,$$ 其中 $\Phi, \Psi:X \to \mathbb R_+$ 为凸连续函数，且最小可容许常数 $C_{\Phi,\Psi,X}$ 等于周期 Hilbert 变换的 $\Phi,\Psi$-范数。作为推论，我们证明了若 $\Phi$ 对称，则周期 Hilbert 变换、实直线上的 Hilbert 变换与离散 Hilbert 变换的 $\Phi,\Psi$-范数相同。我们还证明了在 $\Phi$ 和 $\Psi$ 的某些自然假设下，条件 $C_{\Phi,\Psi,X}<\infty$ 可推出空间 $X$ 的 UMD 性质。作为应用，我们比较了周期 Hilbert 变换的 $L^p$-范数与 Wiener 和 Paley-Walsh 解耦常数。我们还研究了周期、非周期与离散 Hilbert 变换的范数，给出了在微分从属调和函数及更一般的奇异积分算子背景下的相应估计。