关于希尔伯特变换尖锐单侧界的一个注记

令 $\mathcal{H}^{\mathbb{T}}$ 表示圆上的希尔伯特变换。本文包含了以下尖锐估计的证明：\begin{equation*} \frac{1}{2\pi}|\{ \xi\in\mathbb{T} : \mathcal{H}^{\mathbb{T}}f(\xi) \geq 1 \}| \leq \frac{4}{\pi}\arctan\left(\exp\left(\frac{\pi}{2}\|f\|_1\right)\right) -1, \quad f\in L^{1}(\mathbb{T}), \end{equation*} 以及 \begin{equation*} \frac{1}{2\pi}|\{ \xi\in\mathbb{T} : \mathcal{H}^{\mathbb{T}}f(\xi) \geq 1 \}| \leq \frac{\|f\|_2^2}{1+\|f\|_2^2},\quad f\in L^{2}(\mathbb{T}). \end{equation*} 此外，还建立了满足从属条件的正交鞅的相关估计。