三次曲线的 Hilbert 图谱是连通的

本文我们证明了在 $\Pthree$ 中度数为三、 genera 为 $g$ 的局部 Cohen-Macaulay 曲线的 Hilbert 图谱 $H(3,g)$ 是连通的。与 $H(2,g)$ 不同，后者是不可约的，而 $H(3,g)$ 一般具有许多不可约分量（大约 $-g/3$ 个）。为了证明连通性，我们对曲线进行分类（特别注意三次曲线），确定不可约分量，并给出关于 $\Aone$ 的平坦家族以显示分量相交。作为副产品，我们发现存在曲线位于每个不可约分量的闭合中。