可压缩 Euler 方程的隐藏零结构及应用前奏

我们推导出可压缩 Euler 方程的一种新表述，展示了显著的结构，包括令人惊讶的良好零结构。这一新表述由速度的 Cartesian 分量与对数密度的协变波动方程，以及比涡度（定义为涡度除以密度）的输运方程耦合而成。这些方程允许人们在处理系统的“波动部分”时使用几何向量场方法的全部威力。新表述的一个关键特征是，所有导数二次非齐次项均满足强零条件。后者是一个非线性条件，意味着完全不存在涉及多于一个垂直于声学特征方向的微分的非线性相互作用。此外，在比涡度的 Euclidean 散度和旋度所满足的方程中也发现了同样的良好结构。这很重要，因为人们需要将散度和旋度的估计与椭圆估计相结合，以获得比涡度的充分正则性，而其导数在波动方程中作为非齐次项出现。上述结构共同为我们即将发表的结果打开了大门：展示一个稳定区域，其中初始光滑解发展出激波奇点（特别是速度和密度的一阶 Cartesian 坐标偏导数发散），而相对于适应声学特征的几何坐标系，解（包括涡度）在直至激波处始终保持多次可微。通常与全局解相关联的良好零结构，实际上是证明激波奇点形成的关键。本文的次要目标是概述这些结构在证明中所起的核心作用。