Orlicz-Sobolev 空间中的 H\'enon 方程

本文考察了在 Orlicz-Sobolev 空间中的 H\'enon 问题：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta_g u= |x|^\alpha h( u) \quad \text{in }B\ u>0 \quad \text{in }B\ u= 0 \quad \text{on }\partial B\ \end{cases} \end{equation*}其中 $B$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的单位球，$g=G'$，$h=H'$ 为 N-函数，算子 $-\Delta_g$ 为 $g$-Laplacian。我们证明，对 $\alpha>0$，对称项 $|x|^\alpha$ 允许存在径向解，即便 $H$ 超临界，进一步推广了经典 H\'enon 方程的结果。我们也证明径向解确实有界。最后，我们在 Orlicz-Sobolev 空间中给出 Pohozaev 恒等式，并用于得到问题无有界解的 $\alpha$ 范围。