抛物 Anderson 模型与连续定向聚合物的格林函数

我们构建场 $Z_{\beta}(t,x|s,y)$ 的一个正则版本,其描述了 $\mathbb{R}^{1+1}$ 上带白噪声驱动的抛物 Anderson 模型(PAM)的格林函数或基本解: $\partial_t Z_{\beta}(t,x | s,y) =$ $\frac{1}{2}\partial_{xx} Z_{\beta}(t,x|s,y) + \beta Z_{\beta}(t,x | s,y)W(t,x)$, $Z_{\beta}(s,x | s,y) = \delta(x-y)$ 对所有 $-\infty < s \leq t < \infty$、所有 $x,y \in \mathbb{R}$ 及所有 $\beta \in \mathbb{R}$ 同时成立。通过叠加原理,我们的构造给出了 PAM 在所有满足尖锐增长假设的初始或终止条件下、对所有初始与终止时间的解的点态耦合。利用此耦合,我们表明具(次)指数增长初始条件的 PAM 容许由极限 $\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} x^{-1}\log Z_{\beta}(t,x)$ 给出的守恒量,并证明了具一般初始条件的 PAM 解的诸多新的基本性质。这些性质随后被联系到淬灭连续聚合物测度的存在性、正则性与连续性。通过聚合物联系,我们还表明核 $(x,y) \mapsto Z_{\beta}(t,x | s,y)$ 对所有 $t>s$ 与 $\beta\in \mathbb{R}$ 严格全正。