不连续分层介质中平面扩散的格林函数与Martin边界结构
概率论
2025-12-11 v1
摘要
我们考虑一个二维扩散过程，发生在两层平面中，上下半平面由不同的协方差矩阵和两条指向x轴外侧的漂移向量支配。我们首先分析生成元为散度形式的情况，即通量在界面处连续。然后我们将研究扩展到一类在界面处表现出倾斜二维类比skew Brownian motion行为的更广泛过程。我们对该瞬态过程进行了详细的理论分析。主要结果如下：(i) 我们推导了格林函数的显式拉普拉斯变换；(ii) 我们计算了格林函数沿平面所有可能轨迹的精确渐近行为；(iii) 我们确定了所有正调和函数，识别了完整的和极小的Martin边界，二者被证明是不同的。对于具有正则系数的扩散过程而言，Martin边界的非极小性是一个值得注意的现象。为了获得该过程的解析描述，我们完整发展了所谓的核方法的三变量版本，通过推导和利用涉及格林函数未知拉普拉斯变换和两个已知核γ₊(x,y)和γ₋(x,z)的泛函方程。引入与每个半平面相关的独立辅助变量y和z是一个关键思想。
引用
@article{arxiv.2512.09136,
title = {On the Green's functions and Martin boundary structure of a planar diffusion in a discontinuous layered medium},
author = {Sandro Franceschi and Irina Kourkova and Maxence Petit},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.09136},
year = {2025}
}
备注
52 pages