测地不变函数的几何及其在兰斯伯格曲面中的应用

本文针对 n 维流形 M 上的给定喷雾 S，研究 S 不变函数的几何结构。对于一个 S 不变函数 P，我们关联一个垂直分布 V_P，并通过证明喷雾分布的垂直部分是所有具有喷雾 S 的费尔尔函数集合中 V_{F_S} 所构成的交集来揭示其与 V_P 之间的关系。作为应用，本文研究兰斯伯格费尔尔曲面。我们证明，若兰斯伯格曲面的旗曲率为 S 不变，则该曲面要么为黎曼曲面，要么旗曲率为零。进一步地，对于旗曲率非零的兰斯伯格曲面，若其旗曲率为 S 不变，当且仅当其为常数，在这种情况下该曲面为黎曼曲面。最后，对于贝尔瓦德曲面，我们证明其旗曲率为 H 不变当且仅当其为常数。