矩阵 $^*\text{合同}$ 的通用标准形

首先，我们证明了 $n \times n$ 复矩阵的集合是某一开放子集的闭包，其中的元素在合同变换下具有特定的唯一确定标准形（取决于若干参数的值），但其表达式在 $n$ 为偶数或奇数时略有不同。由此可见，该子集元素在合同变换下的标准形可视为复 $n \times n$ 矩阵的通用合同标准形。其次，我们证明了 $n \times n$ 复矩阵的集合是 $\lfloor n/2 \rfloor + 1$ 个开放子集闭包的并集，并且对于每个子集，其元素在 $^*\text{合同}$ 下具有特定的唯一确定标准形（取决于若干参数的值）。由此可见，每个子集元素在 $^*\text{合同}$ 下的标准形可视为复 $n \times n$ 矩阵的通用 $^*\text{合同}$ 标准形。因此，仅存在一种合同下的通用标准形，而 $^*\text{合同}$ 下的通用标准形数量为 $\lfloor n/2 \rfloor + 1$，这揭示了合同与 $^*\text{合同}$ 关系在一般结构上的显著二分。换言之，本文确定了 $\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n$ 中 $n \times n$ 双线性型与复合线性型的通用矩阵表示。