所有正规有理正交矩阵的生成

\emph{有理正交矩阵} $Q$ 是指元素为有理数的正交矩阵,若 $Q$ 的每一行之和等于 1,即称其为\emph{正规}的,即 $Qe = e$ 其中 $e$ 为全 1 向量. 本文提出一种使用经典 Cayley 变换生成所有正规有理正交矩阵的方法. 具体地,我们证明对于任意一个正规有理正交矩阵 $Q$,必存在一个置换矩阵 $P$，使得 $QP$ 不具备特征值 $-1$。因此, $Q$ 可表示为 $Q = (I_n + S)^{-1}(I_n - S)P$ 的形式,其中 $I_n$ 为阶为 $n$ 的单位矩阵, $S$ 为满足 $Se = 0$ 的有理反对称矩阵, $P$ 为置换矩阵。我们方法的核心是一项关键中间结果,该结果独立具有重要意义:给定矩阵 $M$,若且仅当 $M$ 的每一行之和为 $-1$ 或 $M$ 的每一列之和为 $-1$,则 $MP$ 对每一个置换矩阵 $P$ 都具有特征值 $-1$。