锥体中生存概率的母函数不是有理函数

我们考察凸锥中的多维随机游动 $(S_n)_{n\ge 0}$，并探讨两个自然关联的母函数是否可能定义为有理函数。第一个级数是生存概率 $P(\tau > n)$ 的级数，其中 $\tau$ 是离开给定锥体的首次退出时间；第二个级数是越出概率 $P(\tau > n, S_n = y)$ 的级数。我们考虑此问题的动机有两方面：首先，它契合组合学界对锥中随机游动计数级数的代数性质进行分类的整体努力；其次，母函数的有理性问题与上述概率的渐近行为紧密关联，而后者本身具有独立意义。利用级数的有理性与系数可能渐近行为之间的已知关系，近期的概率估计立即蕴含越出母函数不是有理函数。关于生存概率母函数，我们给出一个简短、初等且自洽的证明，表明它同样不能是有理的。