盘子与橄榄游戏

由 Nicolaescu 引入的盘子与橄榄游戏从一张空桌开始。每一步要么放下一个空盘子，要么在盘子上放一颗橄榄，要么移除一颗橄榄，要么移除一个空盘子，要么将两个都放有橄榄的盘子上的橄榄合并到其中一个盘子上并移除另一个盘子。盘子彼此不可区分，橄榄也是如此，且两者的供应都取之不尽。该游戏源于对 $2$-球面上 Morse 函数的考察。具体而言，在 $2$-球面上阶为 $n$（即具有 $2n+2$ 个临界点）的极佳 Morse 函数的拓扑等价类数量，等于恰好经过 $2n+2$ 步后首次回到空桌的方式数。我们称此数为 $M_n$。Nicolaescu 给出了下界 $M_n \geq (2n-1)!! = (2/e)^{n+o(n)}n^n$ 并推测 $\log M_n \sim n\log n$。在本注记中我们证实了这一推测，证明 $M_n \leq (4/e)^{n+o(n)}n^n$。