具有受限边界的纯机会博弈

我们考虑针对一名或两名玩家的各类带堆概率博弈。在游戏的每一轮中,玩家随机选择向自己的堆中添加 $a$ 或 $b$ 个筹码,条件是 $a$ 和 $b$ 不一定为正。若玩家在其行动后拥有负数个筹码,则其收集的筹码数将保持在 $0$ 且游戏继续。我们考虑的所有博弈均满足这些规则。当某人首次收集到 $n$ 个筹码时游戏结束。每名玩家允许以 $s$ 个筹码开始,其中 $s\geq 0$。我们特别考虑了 $(a,b)$ 的多种情形,包括数对 $(1,-1)$ 与 $(2,-1)$。我们研究了结束游戏所需回合数的概率生成函数。我们推导了此类关于 $n$ 的函数序列的有趣递推关系,并将这些生成函数写为有理函数。作为一个应用,我们推导了博弈的其他统计量,包括结束游戏所需的平均回合数及其他高阶矩。