自由粒子-振子-倒立振子三角：共形桥、辛旋转与 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 结构

我们将自由粒子（FP）、谐振子（HO）和倒立谐振子（IHO）作为同一共形/辛结构在抛物线、椭圆和双曲下的实现进行研究，并将其自然扩展到超共形代数 $\mathfrak{osp}(1|2)$。由于相应的自伴哈密顿量具有不同的谱，它们之间的关系并非普通的酉等价。它们是同一共形模块在不同实现之间的桥变换。我们证明了 FP 的零能 Jordan 态被映射到 HO 束缚态和两个 IHO Gamow 族，而 FP 平面波被映射到 HO 相干态，并在光锥 Mellin 分解后映射到 IHO 散射数据。直接的 FP-IHO 桥是一次实辛四分之一旋转，这与静态的 FP-HO 共形桥形成对比，后者在 Schrödinger 表示中是非幺正的，但作为向 Fock-Bargmann 表示的极化变换时变为幺正的。IHO 的透射和反射振幅是作为 Fourier-Mellin 连接系数获得的，等价于 Weber/Stokes 连接数据。我们还描述了含时 Schrödinger 方程的双曲 Cayley-Niederer 映射、Wigner/分界线图像，以及该构造的相干态和 Bogoliubov 变换方面。简要讨论了双曲扇区的一些物理应用，包括量子霍尔鞍点散射、Schwinger 型产生、Rindler/Unruh 和近视界 Hawking 设定，以及 Berry-Keating/平方反比结构。