谐振子量子力学的新审视

在经典力学中，谐振子（HO）是使用角变量与作用量变量 φ∈R mod 2π 与 I>0 的典型例子。但辛变换 (φ,I) 到 (q,p) 在 (q,p)=(0,0) 处是奇异的。整体上 {(q,p)} 具有平面 R^2 的结构，而 {(φ,I)} 具有穿孔平面 R^2−(0,0) 的结构。这暗示了两种相空间量子力学（QM）的定性差异：平面 R^2 的量子化群由 {q,p,1} 生成的（中心扩张的）平移构成，而 {(φ,I)} 的相应群为 SO(1,2)=Sp(2,R)/Z_2（Sp(2,R)：平面的辛群），其李代数基为 {h_0=I, h_1=I cos φ, h_2=−I sin φ}。在 (φ,I)-模型的 QM 中，三个 h_j 对应于 SO(1,2) 或其无穷多个覆盖群之一不可约酉表示（正离散系列）的自伴生成元 K_j（j=0,1,2），其 Bargmann 指标 k>0 决定了 (φ,I)-哈密顿量 H(K) 的基态能量 E(k,n=0)=ℏωk。对于 m 重覆盖，最小可能值为 k=1/m，其值可任意小！算符 Q 和 P 现在表述为 K_j 的函数，保持其通常性质，但从更丰富的 K_j 量子谐振子模型过渡到更简单的 Q,P 模型时，这一更丰富结构被“抹去”了！(φ,I)-变体的谐振子暗示了许多实验检验：同位素双原子分子的 Mulliken 型实验，对原子、离子和玻色-爱因斯坦凝聚体的谐振陷阱实验，带电粒子在磁场中的（朗道）能级实验，以及光在真空中穿过电场或磁场的传播实验。最终它给出了场量子真空能及其与宇宙学常数关系的新理论估计。