以 SO(1,2) 群对光学相空间 S^2 = {phi mod 2pi, I > 0} 的量子化
摘要
对正则对角度和作用量变量 phi 与 I 进行量子化的问题几乎与量子力学本身一样古老，并且数十年来一直是量子光学中激烈争论但仍未解决的问题。本文提出该问题的一个新途径，即借助群 SO(1,2) 进行量子化：关键点在于相空间 S^2 = {phi mod 2pi, I>0} 具有全局结构 S^1 x R^+（一个简单锥面），无法以常规方式量子化。由于群 SO(1,2) 适当地作用于该空间，其正离散序列的幺正表示提供了正确的量子理论框架。空间 S^2 具有 orbifold R^2/Z_2 的锥形结构。该结构与辛群 Sp(2,R) 的中心 Z_2 密切相关。S^2 上的基本变量为函数 h_0 = I、h_1 = I cosphi 和 h_2 = -I sinphi，其泊松括号服从李代数 so(1,2)。在量子理论中，它们由幺正表示的自伴生成元 K_0、K_1 和 K_2 表示。一个关键预言是，经典的毕达哥拉斯关系 h_1^2+h_2^2 = h_0^2 在量子理论中可能被违背。对每个表示可定义 3 种不同类型的相干态，其复相位可仅凭 K_1 和 K_2 来“测量”而无需引入任何新的相位算符！我们详细分析了光学压缩与干涉性质以及谐振子的 SO(1,2) 结构。新的相干态可用于引入密度算符的（Husimi 型）Q 与（Sudarshan-Glauber 型）P 表示。K_0、K_1 和 K_2 这三个算符是基础性的，因为可以从中构造出（复合）位置与动量算符！
引用
@article{arxiv.quant-ph/0307069,
title = {Quantization of the Optical Phase Space S^2 = {phi mod 2pi, I > 0} in Terms of the Group SO(1,2)},
author = {H. A. Kastrup},
journal= {arXiv preprint arXiv:quant-ph/0307069},
year = {2011}
}
备注
v2: 191 pages (Latex), Ch. 4 (Harm.osc.) expanded, Refs. added, typos corrected; v3: a footnote and Refs. added; v4: footnote and Refs. added, typos corrected