图上的双锥的分数色数

设 $n, m$ 为正整数，$G$ 为一图。令 $P_{n,m}$ 为在顶点集 $\{-m, -(m-1), \ldots, 0, \ldots, n\}$ 的路径上于顶点 $0$ 处添加一条环而得到的图。图 $G$ 上的双锥 $\Delta_{n,m}(G)$ 由直积 $G \times P_{n,m}$ 将 $V(G) \times \{n\}$ 识别为单一顶点 $(\star, n)$、将 $V(G) \times \{-m\}$ 识别为单一顶点 $(\star, -m)$，并添加一条连接 $(\star, -m)$ 与 $(\star, n)$ 的边而得到。本文确定了 $\Delta_{n,m}(G)$ 的分数色数。特别地，若 $n < m$ 或 $n=m$ 为偶数，则 $\chi_f(\Delta_{n,m}(G)) = \chi_f(\Delta_n(G))$，其中 $\Delta_n(G)$ 为 $G$ 的第 $n$ 个锥。若 $n=m$ 为奇数，则 $\chi_f(\Delta_{n,m}(G)) > \chi_f(\Delta_n(G))$。本文亦讨论了 $\Delta_{n,m}(G)$ 的色数。