Tangentad 的形式理论 第二部分

切范畴理论是微分几何的一个成熟的范畴框架。一长串基本的几何构造，如切丛函子、向量场、欧几里得空间和向量丛，已经在切范畴中被成功推广和内化。在过去的十年中，该理论还在几个方向上得到了扩展，产生了诸如切单子、切纤维化、切限制范畴和反向切范畴等概念。人们自然会想知道这些新形式的理论如何与几何构造相互作用。切单子或切纤维化如何提升到切范畴的微分丛的切范畴？对于切限制范畴，联络的正确概念是什么？在之前的工作中，我们引入了 tangentad，这是一个推广了许多切向概念的统一框架，并为 tangentad 发展了向量场的形式理论。在本文中，我们将这一形式理论扩展到另外三个基本构造。它们是推广欧几里得空间的微分对象、在切范畴理论中表示向量丛的微分丛，以及作为 Koszul 联络类似物的微分丛上的联络。这些概念通过适当的泛性质被引入到 tangentad 的一般理论中。然后，我们扩展了切范畴理论的一些主要结果，包括微分对象与终对象上的微分丛之间的等价性，并表明联络允许定义良好的协变导数、曲率和挠率概念。最后，我们使用 PIE 极限构造联络，并将我们的框架应用于 tangentad 的几个具体实例。