切向范畴理论 PART I

切向范畴为微分几何提供了范畴化语境，通过对切向束函数、向量场、欧几里得空间、向量束、联接等几何概念进行范畴化。过去十年间，该理论被拓展至新的方向，提供了诸如切向单子、切向纤维、切向限制范畴、逆切向范畴等概念。如何这些新变体与理论所提供的几何构造相互作用是一个自然的疑问：切向单子或切向纤维如何提升至向量场切向范畴的切向范畴？逆切向范畴的正确向量束概念是什么？我们通过采用切向范畴的形式化方法来回答这些问题。切向范畴（tangentads）是我们前一工作中引入的概念，为捕捉理论不同变体以及扩展诸如Grothendieck构造或split restriction categories与$\mathscr{M}$-categories之间的等价性，提供了统一的语境。在本文中，我们构建了切向范畴向量场的正式概念，通过提取普通切向范畴中向量场所拥有的正确普遍属性来实现。我们展示了向量场形成Lie代数和$2$-单子，并展示了如何使用PIE极限来构造向量场。最后，我们计算了一些切向范畴的向量场。在后续论文中，我们将理论扩展至其他构造：微分对象、微分束和联接。