单纯形的第一个Cheeger常数

Coboundary扩张推广了经典图的扩张到一般单纯形复数的情况，允许为任意单纯形复数$X$以及任意$k\geq 0$定义更高维的Cheeger常数$h_k(X)$。在本文中，我们研究具有$n$个顶点的单纯形$\Delta^{[n]}$的第一个Cheeger常数$h_1(\Delta^{[n]})$的值。由于Meshulam和Wallach的开创性工作已知，$\lceil n/3\rceil\geq h_1(\Delta^{[n]})\geq n/3$对所有$n$成立，当$n$能被3整除时，等式$h_1(\Delta^{[n]})=n/3$得以实现。本文对这些结果进行了扩展。首先，我们证明当$n$不是2的幂时，$h_1(\Delta^{[n]})=n/3$。因此，锐利的等式在密度趋于1的集合上成立。其次，我们证明当$n$是2的幂时，$h_1(\Delta^{[n]})=n/3+O(1/n)$。换句话说，当$n$趋于无穷大时，值$h_1(\Delta^{[n]})-n/3$要么为0，要么以非常快的速度趋于0。我们的 метод包括将原始问题重述为纯粹的图论语言，然后对特定图族进行详细调查，即所谓的“梯形图”。这些图通过将图与每个分区相关联而定义，似乎特别适合获取关于单纯形第一个Cheeger常数的信息。