平面曲线的模场

一个经典事实可追溯至 F. Klein：定义在 $\bar{\mathbb{Q}}$ 上的椭圆曲线 $E$ 由系数在 $\mathbb{Q}(j_{E})$ 中的三元齐次多项式给出，其中 $j_{E}$ 是 $E$ 的 $j$-不变量，$\mathbb{Q}(j_{E})$ 是 $E$ 的模场。模场的一般定义可追溯至 T. Matsusaka 与 G. Shimura。除少数例外，它与曲线得以定义的诸域之交一致。我们证明，每个次数与 $6$ 互素的平滑平面曲线，均由系数在其模场中的齐次多项式定义。此外，我们表明任意次数下的大多数平面曲线，更一般地，$\mathbb{P}^{2}$ 中具有有限自同构群的大多数代数闭链，均可下降到模场上的布劳尔-塞韦里曲面。