诱导图的可行域

图 $F$ 的可行域 $\Omega_{{\rm ind}}(F)$ 是单位正方形中满足如下条件的点 $(x,y)$ 的集合：存在一个图序列，其边密度趋近于 $x$ 且其诱导 $F$-密度趋近于 $y$。对于任何至少有四个顶点且既非团也非独立集的 $F$，$\Omega_{{\rm ind}}(F)$ 的完整描述尚属未知。可行域提供了关于 $F$ 的大量组合信息。例如，对所有 $(x,y)\in \Omega_{{\rm ind}}(F)$ 的 $y$ 的上确界是 $F$ 的诱导度，而 $\Omega_{{\rm ind}}(K_r)$ 给出 Kruskal-Katona 与团密度定理。我们通过对 $\Omega_{{\rm ind}}(F)$ 的形状证明一些一般性陈述并对某些特定图 $F$ 给出结果，开启了对 $\Omega_{{\rm ind}}(F)$ 的系统性研究。我们的许多定理适用于量子图这一更一般设定。例如，我们证明了一个量子图的界，推广了 Bollob\'as 关于给定边密度图中团数的旧结果。我们还考虑了当 $F=K_r^-$、$F$ 为星图或 $F$ 为完全二部图时确定 $\Omega_{{\rm ind}}(F)$ 的问题。在 $K_r^-$ 的情形，我们的结果 sharpen 了 Alon 等人的边统计猜想所预测的那些结果，同时也推广了 Hirst 对 $K_4^-$ 使用计算机辅助技术与旗帜代数证明的定理。4-圈的情形似乎尤为有趣，我们猜想 $\Omega_{{\rm ind}}(C_4)$ 由三角密度问题的解决定，而该问题已由 Razborov 解决。