椭圆结合子所满足的 Fay 关系

令 $A_\tau$ 表示 Enriquez 构造的椭圆结合子,它是两个非交换变量 $a,b$ 中的幂级数,定义为 Kronecker 函数 $F_\tau$ 的迭代积分。我们研究 $A_\tau$ 所满足的一族{\it Fay 关系},这些关系由 $F_\tau$ 所满足的原始 Fay 关系导出。$A_\tau$ 的 Fay 关系曾被 Broedel、Matthes 和 Schlotterer 研究,并被确定到非显式的修正项为止,这些修正项源于对不收敛积分进行正则化的必要性。此处我们研究模 $2\pi i$ 的约化版本 $\bar{A}_\tau$。我们回顾由 Matthes、Lochak 和作者分三步给出的 $\bar{A}_\tau$ 的不同构造:首先定义约化{\it 椭圆生成级数} $\bar{E}_\tau$,它来自约化 Drinfeld 结合子 $\overline{\Phi}_{KZ}$,其系数与 $\bar{A}_\tau$ 的系数生成同一个环 $\bar{R}$;然后定义 $\Psi$ 为自由结合环 $\bar{R}\langle\langle a,b\rangle\rangle$ 的自同构,满足 $\Psi(a)=\bar{E}_\tau$ 与 $\Psi([a,b])=[a,b]$;最后证明约化椭圆结合子 $\bar{A}_\tau$ 等于 $\Psi\bigl({{ad(b)}\over{e^{ad(b)}-1}}(a)\bigr)$。利用此构造以及 mould 理论,并采用椭圆生成级数与结合子的 Lie 类似版本,我们证明如下结果:(1) 一个 mould 满足 Fay 关系当且仅当一个紧密相关的 mould 满足定义椭圆 Kashiwara-Vergne Lie 代数 $krv_{ell}$ 的“swap circ-neutrality”关系;(2) 约化椭圆生成级数满足一族 Fay 关系,其修正项极为简单,直接来自 Drinfeld 结合子的修正项;(3) 约化椭圆结合子所满足的 Fay 关系的修正项可由此显式推导得出。