投影、度量与幂等关系：独立公理与固定点耦合定律

我们引入了一个最小的ZFC内部公理系统，用于预结构数据(X, A, mu, mu^{otimes 2}, R, I, Pi_R, G, E_0, eta)，其中Pi_R: X -> R是指定映射，G subset X x X是可测关系；可接受的结构模型是满足I-III公理的预结构数据，这些公理通过单个耦合定律（公理III）将有限可加度量、幂等重投影与幂等对称关系耦合在一起。该公理系统通过显式有限和可数模型在ZFC中是可满足的，包括eta != 0的有限族。三个公理以及公理III的三个子条款是相互独立的，由显式分离模型证明。耦合定律采用固定点形式表述：它是Banach收缩方程f = T_eta f的唯一有界可加解，由(mu, Pi_R, eta)决定，闭式解为f_*(B) = mu(B) + (eta/(1-eta)) mu(Pi_R^{-1}(B))，并具有Neumann级数展开。具有公共eta的可接受结构模型在Struct_eta范畴中形成，其中Pi_R和G以类似单子-双单子对的两种端orphism的形式出现。在纤维可测性及以下任意一种假设下：R-可数性假设或R-有限性假设，都可以将一般可接受性问题归约到Pi_R = id_X的情形；在这种情况下，在Theorem 5.6（pi-id-classification）的假设下，每个G等价类C_k满足mu(C_k) in {0, (1-eta)^{-1}}。