利用群作用对几何进行公理化
摘要
本文旨在通过重新诠释欧几里得原始公理，发展平面几何的一种新公理化。基本概念仍是线段，但其等价的中间性概念被视为拓扑概念而非度量概念。这无需深究拓扑的定义便迅速导向连通性概念。在我们的方法中，线段必须是连通的。直线与平面通过分离概念统一：直线被每一点分离为两个分支，平面包含将其分离为两个分支的直线。我们添加一个保持线段并建立基本几何集唯一同构的双射子群，公理结构即告完成。具有根本重要性的是不动点定理，它允许创建线段长度与全等的概念。所得结构比其他平面几何公理化方法更契合现代科学。例如，它自然导向几何中的埃尔朗根纲领。我们的齐性与刚性条件有两种解释。在物理学中，它们对应于独立观测者应得到相同测量的基本原则，并与狭义相对论中的推进相关。在几何中，它们意味着某些几何图形全等的唯一性。本文的另一条线索是引入无穷远边界这一现代数学的重要概念，并将帕施公理与赋予无穷远边界以自然的中间性关系相联系。由此，球面几何可视为无穷远边界的几何。
引用
@article{arxiv.1501.00285,
title = {Axiomatization of geometry employing group actions},
author = {Jerzy Dydak},
journal= {arXiv preprint arXiv:1501.00285},
year = {2015}
}
备注
61 pages, new title is Axiomatization of geometry employing group actions, old title was A topological approach to axiomatization of geometry. the new version contains another thread: the introduction of boundary at infinity (in the vein of Gromov) and linking of Pasch Axiom to endowing boundaries at infinity with a natural relation of betweenness