边连通图中 $\{p,q\}$-定向的存在性

1976 年 Frank 与 Gy{\"a}rf{\"a}s 给出了任意图 $G$ 中存在一种定向的充要条件，使得对每个顶点 $v$，其出度 $d^+_G(v)$ 满足 $p(v)\le d^+_G(v)\le q(v)$，其中 $p$ 与 $q$ 是 $V(G)$ 上的两个整值函数且 $p\le q$。在本文中，我们给出 $G$ 中存在一种定向使得对每个顶点 $v$ 有 $d^+_G(v)\in \{p(v),q(v)\}$ 的一个充分边连通条件，前提是每个顶点 $v$ 满足 $p(v)\le \frac{1}{2}d_G(v) \le q(v)$、$|q(v)-p(v)|\le k$，且存在 $t(v)\in \{p(v),q(v)\}$ 使得 $|E(G)|=\sum_{v\in V(G)}t(v)$。该结果是 Thomassen（2012）关于高边连通图中模定向存在性定理的一个推广。