多面体的欧拉示性数作为其坐标向量格上的赋值

Hadwiger 的一个著名定理指出，Euler-Poincaré 示性数是 $\mathbb{R}^n$ 中紧多面体分配格上唯一的不变且连续的赋值，它对每个非空凸多面体赋值为 1。本文为有限呈现的单式向量格（即具有相容格序的实向量空间，也称为 Riesz 空间）提供了 Hadwiger 结果的类比。紧多面体上连续且分段（仿射）线性实值函数的向量格，其运算由向量格 $\mathbb{R}$ 逐点定义，是一个有限呈现的单式向量格；且所有此类向量格均以这种方式产生（在同构意义下）是一个非平凡的事实。此类向量格中的每个函数都可以写为我们称为 vl-Schauder 帽的一组 distinguished 元素的线性组合。我们在此证明，将多面体上每个非负分段线性函数映射为其支集的 Euler-Poincaré 示性数的泛函，是唯一的 vl-赋值（向量格上一类特殊的赋值），它对向量格的每个 vl-Schauder 帽赋值为 1。