多个小刚性体弹性散射的等效介质及其应用

我们研究大量 $M$ 个刚性体 $D_m:=\epsilon B_m+z_m$ 的弹性散射，这些刚性体具有任意形状，满足 $0<\textcolor{black}{\epsilon}<<1$，且具有常数 Lam\'e 系数 $\lambda$ 和 $\mu$。我们证明，当这些刚性体任意（不一定周期）分布在 $\mathbb{R}^3$ 中有界区域 $\Omega$ 内，其数量为 $M:=M(\textcolor{black}{\epsilon}):=O(\textcolor{black}{\epsilon}^{-1})$，它们之间的最小距离为 $d:=d(\textcolor{black}{\epsilon})\approx \textcolor{black}{\epsilon}^{t}$（$t$ 在某个适当范围内）时，随着 $\textcolor{black}{\epsilon} \rightarrow 0$，所产生的远场图样逼近由等效介质 $\omega^2\rho I_3-(K+1)\mathbf{C}_0$ 生成的远场图样，其中 $\rho$ 是背景介质的密度（$I_3$ 为单位矩阵），$(K+1)\mathbf{C}_0$ 是偏移（且可能可变）系数。该偏移系数由两个系数 $K$ 和 $\mathbf{C}_0$（支撑在 $\overline{\Omega}$ 中）描述，分别建模小体的局部分布及其几何形状。特别地，若分布体具有均匀球形，则等效介质是各向同性的；而对于一般形状，它可能是各向异性的（即 $\mathbf{C}_0$ 可能是矩阵）。此外，若背景密度 $\rho$ 在 $\Omega$ 中可变且在 $\mathbb{R}^3\setminus{\overline{\Omega}}$ 中 $\rho =1$，则若我们从 $\Omega$ 中移除适当分布的小体，则等效介质将在 $\mathbb{R}^3$ 中等于 $\omega^2 I_3$，即由 $\rho$ 表征的障碍 $\Omega$ 在给定固定频率 $\omega$ 下被近似隐身。