曲面上度量的能谱

设 $(N,\rho)$ 为黎曼流形, $S$ 为亏格至少为二的曲面, $f\colon S \to N$ 为连续映射。我们考虑 $(N,\rho)$(及 $f$)的能谱,它将 $S$ 的 Teichmüller 空间中每一点 $[J]\in \mathcal{T}(S)$ 对应到所有同伦于 $f$ 的映射 $(S,J)\to (N,\rho)$ 的 Dirichlet 能量下确界。我们研究能谱与简单长度谱之间的关系。主要结果是:若 $N=S$、 $f=id$ 且 $\rho$ 为非正曲率度量,则能谱决定简单长度谱。此外,我们给出两个具有相等简单长度谱但不同能谱的 $S$ 上度量,从而证明逆命题不成立。作为结果的推论,我们得到双曲度量集合与二次微分诱导的奇异平坦度量集合满足能谱刚性,即这些集合中的度量在同伦意义下由其能谱唯一确定。我们证明类似的结论对 Kleinian 曲面群也成立。