四维辛椭球的嵌入容量

本文计算了函数 $c(a)$，其在 $a$ 处的值是包含椭球 $E(1,a)$ 的辛像的球的最小尺寸。（此处 $a \ge 1$ 是长轴面积与短轴面积之比。）$c(a)$ 图像的结构异常丰富。体积约束意味着 $c(a)$ 总是大于或等于 $a$ 的平方根，并且不难看出对于较大的 $a$ 这即为等式。然而，对于小于黄金比例四次方 $\tau^4$ 的 $a$，$c(a)$ 是分段线性的，其图像交替位于穿过原点的直线和水平线上。我们通过证明在复射影平面的爆破中存在例外曲线来证明这一点，这些例外曲线的同调类由斐波那契数列之比的连分数展开给出。在区间 $[\tau^4,7]$ 上，我们发现 $c(a)=(a+1)/3$。对于 $a \ge 7$，该函数 $c(a)$ 除了在有限数量的区间上再次呈分段线性外，其余均与平方根重合。来自嵌入接触同调的嵌入约束产生了另一个容量函数 $c_{ECH}$，它可以通过计算适当直角三角形中的格点来求得。根据Hutchings和Taubes的研究，嵌入接触同调的函子性质意味着对所有 $a$ 都有 $c_{ECH}(a) \le c(a)$。我们在此证明对所有 $a$ 都有 $c_{ECH}(a) \ge c(a)$。