具有向量自旋的 $\ell^p$-Gaussian-Grothendieck 问题

我们研究 $\ell^p$-Gaussian-Grothendieck 问题的向量自旋推广。换言之，给定整数 $\kappa\geq 1$，我们考察与单位 $\ell^p$ 球中向量自旋构型所索引的 Sherrington-Kirkpatrick 哈密顿量相关的基态能量的渐近行为。范围 $1\leq p\leq 2$ 与 $2<p<\infty$ 表现出显著不同的行为。当 $1\leq p\leq 2$ 时，$\ell^p$-Gaussian-Grothendieck 问题的向量自旋推广与其标量对应问题一致。特别地，其重新标度极限正比于标准高斯随机变量的某个范数。另一方面，对于 $2<p<\infty$，具有向量自旋的 $\ell^p$-Gaussian-Grothendieck 问题的重新标度极限由一个 Parisi 型变分公式给出。