参数随时空变化的奇异扰动反应扩散系统中脉冲消失的动力学

我们考虑参数随时和/或空间变化的扩展 Klausmeier 方程中多脉冲模式的演化。我们形式化地证明，$N$ 脉冲构型的完整 PDE 动力学可约化为一个 $N$ 维动力系统，描述 $N$ 维流形 $\mathcal{M}_N$ 上的动力学。接下来，我们通过关联于演化中 $N$ 脉冲模式的准稳态谱确定 $\mathcal{M}_N$ 的局部稳定性，该谱提供了关于边界 $\partial\mathcal{M}_N$ 的显式信息。沿 $\mathcal{M}_N$ 上的动力学，一个 $N$ 脉冲模式可能穿过 $\partial\mathcal{M}_N$ 并“脱离” $\mathcal{M}_N$。我们线性分析的直接非线性外推预测了随后的快速 PDE 动力学，即模式“跳跃”到另一不变流形 $\mathcal{M}_M$，并具体预测了消失的脉冲数 $N-M$。将渐近分析与各不变流形上动力学的数值模拟相结合，得到一种混合渐近-数值方法，描述从 $N$ 脉冲模式开始、通常以无脉冲的平凡齐次态结束的完整过程。我们针对 PDE 模拟广泛检验该方法，并推导出关于具有消失脉冲的脉冲相互作用性质的一般猜想。我们特别考虑了不规则与规则模式演化的差异。前者中，消失过程是渐进的：不规则模式逐个失去其脉冲。相反，规则的、空间周期的模式经历灾难性转变，其中一半或所有脉冲消失。然而，对这两种截然不同过程作出精确区分相当微妙，因为未穿过 $\partial\mathcal{M}_N$ 的不规则 $N$ 脉冲模式通常演化为规则模式。