广义最大公约数的分布与格点的 b-可见性

对于固定的 $b\in \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$，Goins 等人 \cite{Harris} 定义了 $L=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ 中格点 $(r,s)$ 的 $b$-可见性概念：若存在某个正的有理数 $a\in \mathbb{Q}$，使得 $(r,s)$ 位于函数 $f(x)=ax^b$ 的图像上，且在 $(0,0)$ 与 $(r,s)$ 之间该图像上不存在 $L$ 中的其他格点，则称 $(r,s)$ 从原点处是 $b$-可见的。此外，为研究 $L$ 中 $b$-可见点的密度，Goins 等人定义了最大公约数的推广，记为 $\gcd_b$，并证明了 $L$ 中 $b$-可见格点的比例为 $1/\zeta(b+1)$，其中 $\zeta(s)$ 为 Riemann zeta 函数。本文研究利用 $\gcd_b$ 定义的算术函数 $\Lambda:L\to \mathbb{ C}$ 的均值，并作为本文更一般结果的推论恢复了 \cite{Harris} 的主要结果。我们还推广了 \cite{Harris} 中的一个结论，该结论断言对固定的 $b$，格点阵 $L$ 中存在任意大的由 $b$-可见点构成的矩形排列；更具体地，我们给出了包含 $b$-可见点与 $b$-不可见点的任意矩形排列可在格点阵 $L$ 中实现的充要条件。我们的结果受 Herzog 与 Stewart \cite{Herzog} 工作的启发，他们证明了 $b=1$ 的情形。