$\mathbb{F}_2[x]$上多项式到无平方多项式的距离

本文考察$\mathbb{F}_2[x]$中的多项式距离无平方多项式可以有多远。对任意$\epsilon>0$，我们证明对任意次数$n$的多项式$f(x)\in\mathbb{F}_2[x]$，存在无平方多项式$g(x)\in\mathbb{F}_2[x]$使得$\mathrm{deg} (g) \le n$且$L_{2}(f-g)<(\ln n)^{2\ln(2)+\epsilon}$（其中$L_{2}$为将定义的范数）。作为推论，$\mathbb{Z}[x]$中的多项式$f(x)$与$g(x)$也成立类似结果。